微分　a^x

${\displaystyle {\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\log a}$  

注：このサイトでは自然対数を $\ln a$ではなく，$\log a$ と表記するようにしている．

■導出

導関数の定義より

${\displaystyle {\left(a^x\right)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{a^x\left(a^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}}$

${\displaystyle =a^x\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$

${\displaystyle a^{\Delta x}-1=t}$ とおくと，${\displaystyle \Delta x\to 0}$ のとき ${\displaystyle t\to 0}$ となる．また

${\displaystyle a^{\Delta x}=1+t}$  

${\displaystyle log{a}^{\Delta x}=log(1+t)}$  

${\displaystyle \Delta xloga=log(1+t)}$  

${\displaystyle \Delta x=\frac{log(1+t)}{loga}}$  

となる．よって，

${\displaystyle =a^x\left\{\underset{t\to 0}{lim}\frac{t}{\frac{log\left(1+t\right)}{loga}}\right\}}$

${\displaystyle \left\{a^x\log a\right\}\left\{\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\log \left(1+t\right)}\right\}}$

${\displaystyle =\left\{a^{x}loga\right\}\left\{\frac{1}{\underset{t\to 0}{lim}\frac{log\left(1+t\right)}{t}}\right\}}$

${\displaystyle =a^{x}loga}$　（${\displaystyle \because \underset{t\to 0}{lim}\frac{log\left(1+t\right)}{t}=1}$　⇒ここを参照）

指数関数の微分も参考のこと

 

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最終更新日： 2025年11月4日